Stellary's Notes

Abstract. 拉格朗日力学。

• 最小作用量原理
• 相对论性自由粒子的作用量
• 粒子与外场的相互作用
  • 标量场
  • 四矢量场
• 非相对论极限
  • 自由粒子
  • 标量场
  • 矢量场
• 对称性与守恒律
• 非惯性系

Abstract. 参考资料选择直接在狭义相对论的时空观下构建整个理论，因此我们有必要先学习一下狭义相对论。然而由于《理论力学》中对狭义相对论的介绍过于简略，我们考虑另寻他路。这里参考中科大陶鑫老师的《电动力学讲义》前两章。

• 基本概念
  • 时空间隔及其不变性
  • 洛伦兹变换
  • 同时的相对性
  • 固有时
  • 固有长度
• 几何表达
  • 基本概念
  • 粒子的常见四维量
  • 张量与物理规律的不变性

Abstract.

• 扩散过程的稳态分布与优化问题
• 前向欧拉方法
  • Langevin 扩散
  • 欠阻尼 Langevin 扩散
• 参考资料

Abstract. 从模拟“常数谱间隙蕴含马尔科夫链以指数级速度收敛”的角度引入泛函不等式，然后浅谈了泛函不等式与集中不等式的关系，最后讲了强凸、微扰和一个较弱条件下如何推出泛函不等式成立。

• 扩散过程中的泛函不等式
  • Log-Sobolev 不等式
  • Poincare 不等式
• 泛函不等式与集中不等式
• 导出泛函不等式成立
  • 强凸的情形
  • 其他情形
• 参考资料

Abstract. 推导扩散过程的 Fokker-Plank 公式，并且用 coupling 的方法分析在强凸的条件下 Langevin 扩散过程等随机过程的收敛速度。

• 说明与记号
• Fokker-Plank 方程
• 扩散过程的稳态和收敛速率
  • Langevin 扩散
  • 欠阻尼 Langevin 扩散
• 参考资料

Abstract. 主要包括可能使用的布朗运动、伊藤积分、随机微分方程等内容。受限于水平只能暂时略去一切严格推导，仅给出直觉和应用此种工具之手段。

• 布朗运动
• 伊藤积分
• 随机微分方程

Abstract. 2025 年 PKU 暑期学校开设由牟文龙老师讲授的“机器学习理论中的连续时间扩散过程”课程之笔记。

Abstract. 本章从牛顿定律出发推导欧拉-拉格朗日方程，以窥如何从能量出发解决动力学问题。

• 引入
• 约束与广义坐标
• 虚功原理与达朗贝尔原理
• 弱耗散系统的运动方程

Abstract. 本合集包含一些今后可能用到的数理基础。现在包含：

1. 力学

• 中性 Rydberg 原子量子计算机的建模
• 保真度建模
• 线路规划（Scheduling）
• 量子比特放置（Placement）
• 量子比特路由（routing）