QEC Workshop 4 | FTQC 基础，横向门

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容错量子计算

至此我们已经配备了一些能够纠正 Pauli 错误的工具。然而实际上的错误不可能在 Encode 和 Decode 阶段缺席，因此我们需要考虑更广泛的景观。

错误发生的位置

定义 1.1.1（Locations）. 一个量子线路，无论容错与否，基本上是由各种位置（locations）构成的，分为：

  • 态制备位（Preparation Location）；
  • 门位（Gate Location）；
  • 存储位（Wait / Storage Location）；
  • 测量位（Measurement Location）；
  • 经典计算位（Classic Computation Location）。

在这个模型下，错误可能发生在每个 Location 上，具体地我们采用这样的错误模型：

定义 1.1.2（Base Model for Fault Tolerance）. 本条定义罗列一些关于错误模型的关键术语。

  • 独立随机错误模型. 线路 $C$ 上的一个独立随机错误模型 $\widetilde{C}$ 系指将 $C$ 中每个 Location $L$ 替换做一个相应、独立的 $\widetilde{L}$，其中 $\widetilde{L}$ 以 $1 - p_L$ 的概率执行 $L$ 的操作；以 $p_L$ 的概率输出同样 Hilbert Space 里面的别的酉变换。这个 $\widetilde{C}$ 也称为 $C$ 的含噪实现，$p_L$ 称为错误率，同种 Location 具有相同的错误率。
  • 独立 Pauli 模型. $\widetilde{L}$ 总是 $L$ 复合上一个 Pauli 信道。
  • 错误路径. 一个 $C$ 中 Location 的子集。

注意发生的错误实际上会随着线路传播。比如考虑 $\mathcal{E} = \mathcal{X}\otimes \mathcal{I}$ 作用在一个 $\mathcal{CNOT}$ Gate Location 上，有

$$
\mathcal{CNOT}(\mathcal{E}|\psi\rangle) = (\mathcal{CNOT}\cdot \mathcal{E}\cdot \mathcal{CNOT}^\dagger)\mathcal{CNOT}|\psi\rangle
$$

本质上发生的错误是 $\mathcal{CNOT}\cdot \mathcal{E}\cdot \mathcal{CNOT}^\dagger = \mathcal{X}\otimes \mathcal{X}$。而单量子门不会传播错误，只会改变错误类型。比如考虑 $[[7, 1, 3]]$ 码，你可以验证 $\mathcal{H}$ 门作用于逻辑比特就等价于给每个物理比特作用 $\mathcal{H}$（这种性质记作“$\mathcal{H}$ 是 $[[ 7, 1, 3]]$ 码上的横向门”，我们稍后展开讲）

$$
\mathcal{H}^{\otimes 7}|0\rangle_L = \frac 1{\sqrt 2}(|0\rangle_L + |1\rangle_L), \qquad \mathcal{H}^{\otimes 7} |1\rangle_L = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle_L - |1\rangle_L)
$$

现在假设此时发生了一个 $3$ 位置上的比特翻转 $\mathcal{X}_3$，可以算出 $\mathcal{H}^{\otimes 7}\mathcal{X}_3 \mathcal{H}^{\otimes 7\dagger} = \mathcal{Z}_3$，并没有造成错误传播。

为了进行容错量子计算，一个自然的思路是将制备的初态 $|\psi\rangle$ 变成 $|\psi\rangle_L$，所有的门换成逻辑门。此处纠错的基本单元便是 Gadget。

定义 1.1.3（Gadgets）. 对于一个 Location $L$，其 Gadget 系指二元组 $(Q, \mathcal{G}_L)$，其中 $Q = (\mathcal{D}, \mathcal{E})$ 是一个 QECC，$\mathcal{G}_L$ 是相应的逻辑操作，即

$$
L = \mathcal{D}\circ \mathcal{G}_L \circ \mathcal{E}
$$

采用统一的 QECC，将所有种类的 Location 集合起来便得到一个容错计算协议（Fault Tolerant Protocol）。

定义 1.1.4（容错模拟）. 设 $C$ 是一个线路。根据一个容错计算协议，将 $C$ 中所有 Location 替换为相应的 Gadget 得到 $FT(C)$。这个线路称为 $C$ 的理想容错模拟。而对应的含噪版本 $\widetilde{FT(C)}$ 便称为其容错模拟。

这个容错模拟的线路大小开销（circuit size overhead）为 $FT(C)$ 的 Location 数目除以 $C$ 的 Location 数目。类似地可以定义空间开销（qubit 数目相除）、深度开销或时间开销等。

阈值定理的陈述与直觉

在接下来的两三讲中，我们的核心目标是证明以下的阈值定理：

Theorem. 假设一个系统服从独立随机错误模型，其中每种 Location 出错的概率都是 $p$。则存在一族纠错协议 $\mathcal{F}_l$，阈值 $p_T$ 使得：一旦 $p < p_T$，则对于一切始于态制备、终于测量的理想量子线路 $C$ 和任意正数 $\varepsilon > 0$，都存在一个 $l$ 使得 $C$ 在容错计算协议 $\mathcal{F}_l$ 下的容错模拟 $\widetilde{FT_l(C)}$ 中测量结果的分布和 $C$ 的测量结果的分布的统计距离至多相差 $\varepsilon$，且 $FT(C)$ 的 size overhead 为 $O(\mathrm{polylog}(T / \varepsilon))$。

以下是关于这个定理的一些评论：

  • 定理的直觉. 假如你的线路有 $T$ 个 Location，要实现总误差不超过 $\varepsilon$，只需让每个 Locatoin 的误差不超过 $\varepsilon / T$（Union Bound）。而一个错误不会传播太远（一个错误仅会扩散到 $O(1)$ 个位置）的情况下，那么现在拿着一个能纠正 $t$ 位错误的 QECC 去纠错一次，每个 Gadget 的错误率就会变成 $p^{O(t)}$ 状物。此时你只需要反复用这个 QECC 去纠错即可（换言之 $\mathcal{F}_l$ 是那个 QECC 的拼接码）。
  • 所谓“条件”. 上一条所谓的条件我们将在下一节（“1.3 容错计算的条件”）形式化。
  • 常数的问题. 这个 overhead 的常数其实非常大，而且显然取决于 $p / p_T$。
  • 阈值的测算. 一般我们会想要知道一个码的阈值。当然有一些严格证明的办法，实际上很多文献中常用数值模拟的办法来测量阈值（调节 $p$，算一个线路纠错前后的误差，两条线的交点就是阈值）。数值模拟测出的阈值通常比严格证明放出来的要高一些。

容错计算的条件

【FIXME】

横向门

【FIXME】