力学 | Lecture 4. 哈密顿力学
Abstract. 本节讲一套和拉格朗日力学等价的体系——哈密顿力学。除了加深对经典力学的理解之外，其重要性在进入量子力学之后展现的淋漓尽致。
哈密顿正则方程
回忆一个由拉格朗日量 $L(q, \dot{q}, t)$ 刻画的经典力学系统以及相应的运动方程
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \boldsymbol{p} = \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{q}}
$$
其中 $\boldsymbol{p}$ 为与广义坐标 $\boldsymbol{q}$ 共轭的广义动量。
哈密顿力学是拉格朗日力学的对偶形式，其间以勒让德变换联系。以下的操作是勒让德变换将 $\dot{q}$ 换成 $p$ 的常规手法，这里不阐释对勒让德变换的直观理解，感兴趣可以参考相关文献。
显然，拉格朗日量的全微分可以写作
$$
\mathrm{d}L = \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t + p_i\mathrm{d}\dot{q}_i + \dot{p}_i \mathrm{d}q_i
$$
定义一个新的物理量，它是 $\boldsymbol{q}$ 和 $\boldsymbol{p}$ 的函数。
$$
H(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}, t) = p_i\dot{q}_i - L
$$
$H$ 即为勒让德变换的结果，称为哈密顿量。现在考察其全微分，代入拉格朗日方程得到：
$$
\mathrm{d}H = \dot{q_i}\mathrm{d}p_i - \dot{p}_i\mathrm{d}q_i - \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t \label{dham}
$$
从中便可抽出运动方程
$$
\frac{\partial H}{\partial p_i} = \dot{q}_i, \qquad \frac{\partial H}{\partial q_i} = -\dot{p}_i \label{hameq}
$$
这个方程称为哈密顿正则方程，为一阶常微分方程组。此处引入两个术语：一个力学系统的状态可以被 $\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}$ 两组独立的变量描述，其全体可能的状态集合称作相空间。$\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}$ 关于时间的函数称作相轨道。从相空间中的给定点出发，力学系统的相轨道由哈密顿正则方程确定。
另外如果考察 $H$ 关于 $t$ 的变化量，则有
$$
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} &= \frac{\partial H}{\partial t} + \frac{\partial H}{\partial q_i}\dot{q}_i + \frac{\partial H}{\partial p_i}\dot{p}_i \\
&= \frac{\partial H}{\partial t} & \color{blue}{\text{from (\ref{hameq})}} \\
&= -\frac{\partial L}{\partial t} & \color{blue}{\text{from (\ref{dham})}}
\end{align}
$$
可见若哈密顿量不含时，则它是一个守恒量。又考察其定义和 第二讲 中关于能量守恒的论述，此时哈密顿量数值上就等于能量。
刘维尔定理
本节来理解相空间的结构。我们将证明，如果一个系统按照哈密顿正则方程演化，则体积元大小不变（刘维尔定理）。
首先将 $p, q$ 统一至一个长度为 $2n$ 的变量中：
$$
\xi^j = \begin{cases}
q^j & j = 1, 2, …, n \\
p_{j - n} & j = n + 1, n + 2, …, 2n
\end{cases}
$$
则此时哈密顿正则方程的形式为
$$
\dot{\xi}^j = \omega^{jk}\partial_k H \qquad \text{ or } \qquad\omega_{jk}\dot{\xi}^j = \partial_k H
$$
其中 $\omega$ 是这样的一个正交的斜对称矩阵：
$$
\omega = \begin{pmatrix}
& \mathbf{I}_{n\times n} \\
-\mathbf{I}_{n\times n} &
\end{pmatrix}
$$
现在考察一个体积元 $\mathrm{d}\xi(0)$ 演化时间 $t$ 之后所得的体积元。众所周知，原来的体积元和新的体积元之间差了 Jacobian 倍。一切归结为计算
$$
J(t) = \det \mathbf{J}(t), \text{ where } \mathbf{J}(t)_{i, j} = \frac{\partial \xi^i(t)}{\partial \xi_j(0)}
$$
当然这里你要和哈密顿正则方程扯上关系，必须做一些微分。下面的推导可能是操作矩阵行列式的导数的常见手法，因为 $\mathrm{tr}$ 比 $\det$ 好操作得多：
$$
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}J}{\mathrm{d}t} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \exp( \ln \det \mathbf{J}(t) ) \\
&= J(t)\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathrm{tr}( \ln(\mathbf{J}(t)) ) \\
&= J(t)\cdot \mathrm{tr}(\mathbf{J}^{-1}(t)\dot{\mathbf{J}}(t))
\end{align}
$$
而 Jacobi 矩阵的求逆和求导都是我们熟悉的：有
$$
\begin{align}
\mathrm{tr}(\mathbf{J}^{-1}(t)\dot{\mathbf{J}}(t)) &= \frac{\partial \xi^i(0)}{\partial \xi^j(t)}\frac{\partial \dot{\xi}^j(t)}{\partial \xi^i(0)} \\
&= \frac{\partial \xi^i(0)}{\partial \xi^j(t)}\frac{\partial \dot{\xi}^j(t)}{\partial \xi^k(t)}\frac{\partial \xi^k(t)}{\partial \xi^i(0)} & \color{blue}{\text{by chain rule}} \\
&= \delta_j^k \frac{\partial \dot{\xi}^j(t)}{\partial \xi^k(t)} & \color{blue}{\text{by inversion of Jacobi matrix}} \label{beforehameq} \\
&= \omega^{jk}\partial_j \partial_k H(t) & \color{blue}{\text{ by Hamiltonian equation}} \label{afterhameq} \\
&= 0
\end{align}
$$
最后系一个对称矩阵与一个斜对称矩阵的 Frobenius 内积，自然是 $0$。至此我们得到的结论总结为
定理 2.1（刘维尔定理）. 对于哈密顿系统（即便是非保守的），始终有
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} J(t) = 0
$$
成立。直观地，哈密顿系统的相空间体积元不随时间演化改变。
对于非哈密顿系统，$(\ref{beforehameq}) \Rightarrow (\ref{afterhameq})$ 的推导将不复存在。当然，你也可以对 $(\ref{beforehameq})$ 里面那个东西积分来获得 $J(t)$ 的值，进而得到体积元变化量，但实际上这也没什么意思。
泊松括号
考虑一个力学量（广义坐标、广义动量、时间的函数） $f(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}, t)$。其随时间的变化率为
$$
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} &= \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial q_i}\dot{q}_i + \frac{\partial f}{\partial p_i} \dot{p}_i \\
&= \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial f}{\partial p_i} & \color{blue}{\text{by Hamiltonian equation}}
\end{align}
$$
因此一个力学量是守恒量（或者称为运动积分）的充分必要条件是
$$
-\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial f}{\partial p_i}
$$
等式右侧是一个相当（斜）对称的形式，也是我们本节重点研究的对象。
定义 3.1（泊松括号）. 对于两个力学量 $f, g$，其泊松括号定义做
$$
[f, g] := \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i} = (\partial_j f) \omega^{jk} (\partial_k g)
$$
易见：
泊松括号是斜对称双线性形式. 这由 $\partial, \omega$ 的线性性立即得到。
两函数乘积的泊松括号满足乘法法则. 即 $[f_1f_2, g] = f_1[f_2, g] + f_2[f_1, g]$。这由偏微分的乘法法则立即得到。
泊松括号满足雅可比等式. 即对于三个力学量 $f, g, h$，有
$$
[f, [g, h]] + [g, [h, f]] + [h, [f, g]] = 0
$$
验证即可，这里不多费笔墨。
定理 3.1（泊松定理）. 设 $f, g$ 是两个的力学量。若 $f, g$ 都是守恒量，则 $[f, g]$ 也是守恒量。
证明. 注意到一个力学量是守恒量的充分必要条件是
$$
[f, H] = -\frac{\partial f}{\partial t}
$$
由雅可比等式立即得到
$$
\begin{aligned}
&[f, [g, H]] + [g, [H, f]] + [H, [f, g]] = 0 \\
&\Rightarrow \left[f, -\frac{\partial g}{\partial t}\right] + \left[g, -\frac{\partial f}{\partial t}\right] + [H, [f, g]] = 0 \\
&\Rightarrow [[f, g], H] = -\frac{\partial}{\partial t}[f, g]
\end{aligned}
$$