力学 | 补充内容：狭义相对论简介
Abstract. 参考资料选择直接在狭义相对论的时空观下构建整个理论，因此我们有必要先学习一下狭义相对论。然而由于《理论力学》中对狭义相对论的介绍过于简略，我们考虑另寻他路。这里参考中科大陶鑫老师的《电动力学讲义》前两章。
根据已有实验观测作以下两条基本假设：
- 相对性原理. 所有物理规律在一切惯性参考系中都等价。
- 光速不变性. 真空中的光速是一个常数，与光源是否运动无关。
显然，光速不变性与伽利略的速度变换相矛盾。我们将尝试构造一个符合上述假设的时空变换。
基本概念
首先引入一些概念。
定义 1.1（事件）. 一个事件由它发生的事件 $t$ 和位置 $\boldsymbol{x}$ 定义。
由此，可以衍生出一系列其他物理量，如时间间隔。假设参考系 $K$ 中有一个静止的时钟，其测量的一个时间间隔可由两个事件（两次读数）$(t_1, \boldsymbol{x})$ 和 $(t_2, \boldsymbol{x})$ 决定，此时测得的时间间隔维 $t_2 - t_1$。同样可以通过两个事件 $(t, \boldsymbol{x}_1), (t, \boldsymbol{x}_t)$ 得到一个物体的长度。
定义 1.2（四维时空）. 为了将事件标注在一个空间中，我们定义四维时空 $(ct, x_1, x_2, x_3)$（此处取 $ct$ 是为了保证各维度有相同的量纲）。
现在，每个事件的时空坐标确定了四维时空中的一个点，称作世界点，任意一个运动的粒子在这个四维时空中的轨迹将是一条曲线，称为世界线。
时空变换即为不同惯性参考系对应的四维时空中的坐标变换。假设时空是均匀的。根据相对性原理（在一个参考系中匀速运动则在另一个参考系中也匀速运动，因此时空变换将直线映射到直线），时空变换必是仿射变换。本文中，我们将考虑最简单的情况，即参考系初始时原点重合的情况，此时时空变换必是线性变换。因为我们期待若一个粒子在惯性系 $K$ 中不受外力（其世界线为一条直线），在惯性系 $K’$ 中世界线也为一条直线。
时空间隔及其不变性
现在考虑光速不变给我们带来了什么。
定义 1.3（时空间隔）. 在某一惯性参考系中，对于两个事件，其时空坐标分别为 $(t_1, \boldsymbol{x}_1), (t_2, \boldsymbol{x}_t)$。定义其时空间隔为
$$
\Delta s = \sqrt{c^2 \Delta t^2 - \left\lVert\Delta \boldsymbol{x}\right\rVert^2}
$$
例子 1.1. 首先来看一个 toy case。考虑惯性参考系 $K’$ 中得到两个事件：
- $t_1$ 时 $\boldsymbol{x}_1$ 发出一束光。
- $t_2$ 时 $\boldsymbol{x}_2$ 接收到该光。
注意到 $\Delta x = c\Delta t$，因此两个事件的时空间隔为 $0$。在另一个参考系 $K’$ 中，结果仍将如此，因为光速不变。
简而言之，在一切惯性参考系中，由光信号沟通的两个事件的时间间隔都相等，且为 $0$。更为一般地，我们将会发现，在相对论的基本假设下，有
定理 1.1. 设有两个事件，其在惯性参考系 $K, K’$ 中的时空坐标分别为 $(t_1, \boldsymbol{x}_1), (t_2, \boldsymbol{x}_2)$ 和 $(t_1’, \boldsymbol{x}_1’), (t_2’, \boldsymbol{x}_2’)$。据此可计算出其在两参考系中的时空间隔 $\Delta s$ 和 $\Delta s’$。则 $\Delta s = \Delta s’$ 恒成立。
证明. 对于任意两个事件，在 $K$ 系中定义两事件在四维时空中的差 $\Delta \boldsymbol{u} = (\Delta t, \Delta \boldsymbol{x})$，$K’$ 系中的 $\Delta \boldsymbol{u}’$ 类似。注意时空变换是一个线性变换，因此必有
$$
\Delta s’^2 = \Delta \boldsymbol{u}^\top \mathbf{A} \Delta \boldsymbol{u}
$$
其中 $\mathbf{A}$ 是一个只与参考系相对速度 $\boldsymbol{v}$ 有关的对称矩阵（具体为 $\mathbf{P}^\top \mathrm{diag}(1, -1, -1, -1) \mathbf{P}$，此处 $\mathbf{P}$ 为参考系间的坐标变换）。
首先考虑例子 1.1 带来的结论。考虑一个长宽高分别为 $\Delta x_1, \Delta x_2, \Delta x_3$ 的长方体。则可以找到八组由光信号沟通因而时间间隔为 $0$ 的事件：光从一个顶点 $A$ 出发，传播到其对角的顶点 $B$。因此对于任意的 $\Delta x_1, \Delta x_2, \Delta x_3 \in \mathbb{R}^+$ 和 $s_1, s_2, s_3\in \{-1, 1\}$ 都有
$$
A_{00}(c\Delta t)^2 + 2c\Delta t\sum_{i = 1}^3 A_{0i}s_i \Delta x_i + \sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 A_{ij}\Delta x_i\Delta x_j s_is_j = 0 \label{theorem1maineq}
$$
基于此，经过一些琐碎的插值，可以知道 $\mathbf{A}$ 必然形如
$$
\mathbf{A} = \mathrm{diag}(A(\boldsymbol{v}), -A(\boldsymbol{v}), -A(\boldsymbol{v}), -A(\boldsymbol{v}))
$$
计算细节
首先考虑令 $\Delta x_1$ 非零，$\Delta x_2 = \Delta x_3 = 0$，注意 $\Delta x_1 = c\Delta t$ 得到
$$
A_{00} \Delta x_1^2 + 2A_{01} s_1 \Delta x_1^2 + A_{11} \Delta x_1^2 = 0
$$
根据 $s_1$ 可在 $\{1, -1\}$ 中任取知道 $A_{01} = 0$，$A_{00} = -A_{11}$。以相同手法可得
$$
A_{0i} = 0, A_{00} = -A_{ii}, \qquad i = 1, 2, 3 \label{theorem1inter1}
$$
将结论 $(\ref{theorem1inter1})$ 代入方程 $(\ref{theorem1maineq})$，注意 $A_{00} ((c\Delta t)^2 - \Delta \boldsymbol{x}^2) = 0$ 恒成立，有
$$
2\sum_{1 \leq i < j \leq 3} A_{ij} \Delta x_i\Delta x_j s_is_j = 0
$$
考虑令 $\Delta x_1, \Delta x_2 \ne 0, \Delta x_3 = 0$ 即得到 $A_{12} = 0$。用相同的手法得到
$$
A_{ij} = 0, \qquad i \ne j
$$
而由于空间各向同性，$A$ 应当只和速度大小有关。因此
$$
\Delta s’^2 = A({v}) \Delta s^2
$$
另一方面，考虑 $K$ 系相对于 $K’$ 系，重复上述过程得到
$$
\Delta s^2 = A(v) \Delta s’^2
$$
因此 $A(v) = 1$，$\Delta s^2 = \Delta s’^2$。$\blacksquare$
洛伦兹变换
现在考虑推导保持时空间隔不变的坐标变换矩阵应当具有之形式。
一个平凡的保持时空间隔不变的坐标变换就是对空间坐标的正交变换。显然，这并不能刻画两个以相对运动的惯性参考系之间的坐标变换。我们需要的坐标变换一定要是含时间的。
考虑最简单的一维情形：只有 $t, x$ 改变、$y, z$ 不变的坐标变换，相对运动方向为其他方向，只需补充一个三维旋转变换即可。此处，我们只需要保证 $c^2t^2 - x^2$ 保持不变。做双曲换元
$$
\begin{cases}
ct = s \cosh \theta \\
x = s\sinh \theta
\end{cases}, \quad \begin{cases}
ct’ = s \cosh (\theta + \phi) \\
x’ = s\sinh (\theta + \phi)
\end{cases}
$$
注意变换的线性性，其必须把 $t = 0$ 的坐标映射到 $0, kx, ky, kz$，这表明 $\theta’ = \theta - \phi$ 必然成立（$\phi = -\log k$）。因此
$$
\begin{aligned}
ct &= s\cosh (\theta’ + \phi) \\
&= ct’\cosh \phi + x \sinh \phi \\
x &= s \sinh (\theta’ + \phi) \\
&= ct’\sinh \phi + x\cosh \phi
\end{aligned}
$$
Remark. 至此，我们可以窥见双曲旋转如何作为相对运动的坐标系之间的坐标变换：考虑 $t$ 时刻 $K’$ 系的原点 $(ct’, \boldsymbol{0})$，其将被映射到
$$
(ct’\cosh \phi, ct’\sinh \phi, 0, 0)
$$
这是一条直线，因此 $K’$ 确实相对 $K$ 做匀速直线运动，在 $K$ 系中测得其速度为 $c\sinh \phi / \cosh \phi$。
记录这个速度：令 $V / c = \sinh \phi / \cosh \phi$。则
$$
\frac{e^\phi - e^{-\phi}}{e^\phi + e^{-\phi}} = \frac{V}{c} \quad \Rightarrow \quad e^\phi = \sqrt{\frac{c + V}{c - V}}
$$
于是
$$
\begin{aligned}
\sinh \phi = \frac{V / c}{\sqrt{1 - \left(\frac{c}{V}\right)^2}} \\
\cosh \phi = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{c}{V}\right)^2}}
\end{aligned}
$$
方便起见定义 $\beta(V) = V / c, \gamma(V) = 1 / \sqrt{1 - 1 / \beta^2}$。则此时空变换写成矩阵形式就是
$$
\begin{pmatrix}
ct \\ x \\ y \\ z
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\gamma & \beta\gamma & 0 & 0 \\
\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
ct’ \\ x’ \\ y’ \\ z’
\end{pmatrix}
$$
此矩阵记作 $\mathscr{L}$，对应的混合二阶张量记作 $\Lambda_\alpha^\beta$，因为是对称的所以不必区分上下指标的先后次序。这一时空变换称为齐次洛伦兹变换，简称洛伦兹变换（非齐次洛伦兹变换叫做庞加莱变换）。当 $V / c \rightarrow 0$（低速）时，其趋近于伽利略变换 $(t’, x’, y’, z’) \mapsto (t’, x’ + Vt, y’, z’)$。
至此要推算一个 $K’$ 系中以速度 $\boldsymbol{v}’$ 运动的粒子在 $K$ 系中的速度，无非是一些简单的多元微积分。
$$
\begin{aligned}
\mathrm{d}t &= \gamma \mathrm{d}t’ + \beta\gamma/c \mathrm{d}x’ = (\gamma + \beta \gamma v_x’/c)\mathrm{d}t’ \\
\mathrm{d}x &= \beta\gamma \mathrm{d}t’ + \gamma \mathrm{d}x’ = (\beta\gamma + \gamma v_x’) \mathrm{d}t’ \\
\mathrm{d}y &= \mathrm{d}y’ = v_y’\mathrm{d}t’ \\
\mathrm{d}z &= \mathrm{d}z’ = v_z’\mathrm{d}t’
\end{aligned} \quad \Rightarrow \quad \begin{aligned}
v_x &= \frac{v’_x + \beta}{1 + \beta v_x / c} \\
v_y &= \frac{v’_y / \gamma}{1 + \beta v_x’ / c} \\
v_z &= \frac{v’_z / \gamma}{1 + \beta v_x’ / c}
\end{aligned}
$$
同时的相对性
既然时空间隔是不变的，但是易见在不同参考系中距离会发生变化，那么是否可能两个事件在 $K’$ 中是同时发生的，但是在 $K$ 中不是同时发生的？
考虑简单一维情形。设两个事件在 $K’$ 中同时发生即 $\Delta t’ = 0$。则其在 $K$ 中发生的时间间隔为 $\beta\gamma \Delta x’$，当 $\Delta x’$ 非零时，这显然是一个非零的量。
可以根据 $\Delta s^2$ 的符号将时空间隔分作三类：类光间隔（$\Delta s^2 = 0$），类空间隔（$\Delta s^2 < 0$）和类时间隔（$\Delta s^2 > 0$）。很显然，上述同时的相对性仅可能发生在由类空间隔联系的两个事件之中。
一个类似但更奇怪的现象是，如果在 $K’$ 中 $A$ 先于 $B$ 发生，即 $\Delta t’ > 0$，则在 $K$ 中可能有其发生的时间间隔为 $\Delta t = \gamma(\Delta t’ + \beta \Delta x’ / c)$。若这两件事情是以类空间隔联系的（即 $|\Delta t’| < |\Delta x’ / c|$），则必然存在一个 $|\beta| < 1$ 使得 $\Delta t < 0$。即，由类空间隔联系的两个事件可能在两个惯性参考系中发生的顺序相反！这实际上告诉我们，两个具有因果关系的事件（在一切惯性参考系中 $A$ 都先于 $B$ 发生）不可能以类空间隔联系，进而表明相互作用的传递速度最大为光速。
固有时
固有时 $\tau$ 系指某相对惯性参考系静止的时钟的报时。在该参考系中，时钟两次测量的时空间隔为 $\Delta s = c\Delta \tau$。
现在考虑参考系 $K$ 中一物体以速度 $\boldsymbol{v}$ 匀速运动。该物体上搭载一时钟以测量时间。设 $K’$ 为相对该物体静止的惯性参考系，则根据时空间隔的不变性有
$$
\sqrt{c^2 \mathrm{d}t^2 - \mathrm{d}x^2} = c\mathrm{d}\tau \quad \Rightarrow \quad \gamma\mathrm{d}\tau = \mathrm{d}t
$$
两边积分得到 $\Delta \tau = \Delta t / \gamma$。熟知 $\gamma > 1$，$\Delta \tau < \Delta t$，此现象称为动钟变慢效应。
有诸多与钟慢效应相关的佯谬，兹列举一些：
佯谬 1.1. 看似相对 $K’$ 系来看，$K$ 以速度 $-\boldsymbol{v}$ 运动，从而似乎也有 $\Delta t = \Delta \tau / \gamma$ 而导致矛盾。
解释. 需要注意这里 $\Delta t$ 不是参考系 $K$ 的固有时。而是两次测量事件的时间间隔（两次测量在 $K$ 中分别是 $(t_1, \boldsymbol{x}_1)$ 和 $(t_2, \boldsymbol{x}_2)$，$\Delta t = t_2 - t_1$）。当然你也可以用洛伦兹变换算一下：在 $K’$ 中看有
$$
\Delta t’ = \gamma((t_2 - t_1) - \beta / c(x_2 - x_1)) = \gamma(t_2 - t_1)(1 - \beta^2) = (t_2 - t_1) / \gamma
$$
和原结论一致。$\blacksquare$
佯谬 1.2（双生子佯谬）. 一对兄妹双胞胎，妹妹乘高速飞船离开后返回，问再见面时谁更年轻。似乎从两者眼中看，都是对方更年轻。
解释. 问题的关键在于妹妹必然（受外力而）经历加速运动，因此相对其静止的绝非惯性参考系，在其中应用钟慢效应绝不是恰当的。当然，在任意惯性参考系中都可以计算出妹妹比哥哥年轻（妹妹度过的时间仅为哥哥的 $1 / \gamma$），这个结论确实也是正确的。
现在我们从一个简单的例子来窥见妹妹眼中发生了什么。简而言之，妹妹将会在加速过程中发现哥哥的年龄突然增长了一个量，从而补充缺少的 $\gamma - 1 / \gamma$ 的时间。$\blacksquare$
计算细节
Remark. 理解的关键是时钟显示的时间是与其相对静止的参考系中它的时空坐标
假设妹妹是以速度 $\boldsymbol{v}$ 从 $A$ 点飞出距离 $l$ 到达 $B$ 点，在极短的时间内完成转向，然后以速度 $\boldsymbol{-v}$ 返回。为便于理解，假设 $A, B$ 两点有两个经校准的时钟 $C_A, C_B$，飞船上有一个钟 $C_1$，初始时均校准于 $0$ 时刻。
第一阶段飞船出发，瞬间从 $0$ 加速到 $\boldsymbol{v}$，与参考系 $K’$ 相对静止。现在将所有参数全都搬到 $K’$ 中。此时用洛伦兹变换算出 $K’$ 中 $A$ 的坐标为 $(0, 0)$，$B$ 的坐标为 $(\gamma \beta l / c, \gamma l)$，均以 $-\boldsymbol{v}$ 速度运动。
第二阶段中飞船从 $A$ 飞到 $B$。现在在 $K’$ 中计算到达 $B$ 的时间。首先用长度缩短效应算出 $K’$ 中 $\left\lVert AB\right\rVert = l / \gamma$，因此到达时 $C_1$ 读数为 $l / \gamma v$，$A$ 坐标为 $(l / \gamma v, -l / \gamma)$，$B$ 坐标为 $(l / \gamma v, 0)$。反过来算 $C_A, C_B$ 的读数即其在 $K$ 中的时间坐标，套上洛伦兹变换得到 $C_A$ 读数为 $l / v - \beta l / c$，$C_B$ 读数为 $l / v$。
第三阶段飞船转向，从惯性参考系 $K’$ 进入 $K’’$。这个变换是一个庞加莱变换（因为初始时原点不重合），但我们仍易见在这个参考系中钟 $C_A$ 比 $C_B$ 快 $\beta l/c$。换言之，在转向过程中在飞船看来，地球上的时间突然流逝了 $2\beta l / c$。
第四阶段飞船返回，计算和第二阶段类似。综上可以知道返回后 $C_1$ 将显示
$$
t_1 = 2\frac{l}{\gamma v}
$$
$C_A$ 和 $C_B$ 将显示
$$
t = 2\frac{l}{v} = \gamma t_1
$$
和在地球上使用狭义相对论计算出结果完全一致。
固有长度
被测物体在相对其静止的参考系中测得的长度 $l_0$ 称为其固有长度。现在考虑一根固有长度为 $l_0$ 的棒以 $\boldsymbol{v}$ 速度沿其延申方向运动。考虑测量其长度。
同一时刻取棍两端 $(t, \boldsymbol{x}_1), (t, \boldsymbol{x}_2)$。用洛伦兹变换的逆可知如下关系成立
$$
\Delta x’ = \gamma \Delta x
$$
即测得长度 $l = l_0 / \gamma < l_0$，这称为长度收缩效应。
佯谬 1.3（谷仓-梯子佯谬）. 一个农夫想要把梯子装进谷仓中，但不幸梯子的固有长度大于谷仓的固有长度。因此他指示女儿举该梯子以速度 $v$ 奔跑，根据尺缩效应该梯子将能装入谷仓中。然而在女儿看来，根据尺缩效应谷仓尺寸将变小，而更不可能将梯子装入。
解释. 实际上，这两种说法都没有问题。我们不妨假定谷仓两端装有两个自动门 $A, B$，当其检测到梯子通过将自动打开，否则自动关闭。则“梯子被装入谷仓”即存在一段时间，两门同时关闭且梯子处于其中。在 $K$ 中，可以算出门 $A$ 关闭先于门 $B$ 打开发生，而 $K’$ 中恰好相反。这本质上就是类空间隔联系的事件在不同参考系中发生顺序可能相反。详细计算细节略过。$\blacksquare$
另外需要注意的是只有运动方向上的长度会发生收缩。因此有 $\mathrm{d}V = \mathrm{d}V’ / \gamma$。另外回忆 $\mathrm{d}t = \gamma \Delta t’$，因此四维时空中的体元实际上是一个不变量：
$$
\mathrm{d}t\mathrm{d}V = \mathrm{d}t’\mathrm{d}V’
$$
几何表达
Remark. 本节开始，上标基本上都是张量角标，默认读者掌握基本的张量分析和张量代数知识，且知道爱因斯坦求和约定。
基本概念
闵可夫斯基空间系指四维时空 $\mathbb{R}^4$ 配上时空间隔作为度量。
定义 2.1（四维矢量）. 若任意四个量 $A^0, A^1, A^2, A^3$ 在惯性参考系之间服从洛伦兹变换：
$$
\begin{pmatrix}
A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\gamma & \gamma \beta & 0 & 0 \\
\gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
A’^0 \\ A’^1 \\ A’^2 \\ A’^3
\end{pmatrix}
$$
则称其为一个洛伦兹四矢量，其中 $A_0$ 称为时间分量，其余称为空间分量。写作 $A^\alpha = (A^0, \boldsymbol{A})$。任意四矢量的模长为
$$
(A^0)^2 - (A^1)^2 - (A^2)^2 - (A^3)^2
$$
这里模长的表达并不简洁。代数上，我们定义内积 $\langle a, b\rangle$ 的惯用手法是将其定义做 $a$ 的伴随与 $b$ 之积，在张量的语言中就是一个逆变分量的协变分量（口诀是“上逆下协”，即上标代表逆变分量，下标代表协变分量）。在狭义相对论中，这两种形式之间的关系是
$$
A_0 = A^0, A_1 = -A^1, A_2 = -A^2, A_3 = -A^3
$$
现在就可以方便地记录模方 $s^2 = A^\alpha A_{\alpha}$ 和内积 $A^\alpha B_\alpha$。
定义 2.2（四维标量）. 在洛伦兹变换下不随参考系改变的物理量称作四维标量。
除了 $s^2$ 以外，前面提到 $\mathrm{d}t\mathrm{d}V$ 也是四维标量。
定义 2.3（四维张量）. 若有十六个量 $F^{\alpha\beta}$ 在洛伦兹变换下与两个四维向量的并矢 $A^\alpha B^\beta$ 变换方式相同，则 $F^{\alpha\beta}$ 称为一个二阶四维张量。当然，这里四维张量有四种，包括逆变形式 $F^{\alpha\beta}$，协变形式 $F_{\alpha\beta}$，两种混合形式 $F^{\alpha}_{\cdot\beta}$ 和 $F^{\cdot \alpha}_\beta$。
换言之如果 $F^{\alpha\beta}$ 满足 $F^{\alpha\beta} = \mathscr{L}F’^{\alpha\beta}\mathscr{L}^\top$，则称为四维张量。根据时空间隔的不变性可知矩阵 $\mathbf{G} = \mathrm{diag}(1, -1, -1, -1)$ 满足对于任意的 $\mathbf{v}$ 都有（注意 $\mathscr{L} = \mathscr{L}^\top$）
$$
\boldsymbol{v}^\top \mathbf{G} \boldsymbol{v} = \boldsymbol{v}^\top \mathscr{L}\mathbf{G}\mathscr{L} \boldsymbol{v}
$$
根据线性代数中的一些基础结论可以知道这就表明 $\mathbf{G} = \mathscr{L}^\top \mathbf{G}\mathscr{L}$。于是张量
$$
g_{\alpha\beta} = g^{\alpha\beta} = \begin{cases}
1 & \text{if $\alpha = \beta = 0$} \\
-1 & \text{if $\alpha = \beta \ne 0$} \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
是一个四维张量，称为四维度规张量，或称为度规系数。这个度规张量正是逆变分量和协变分量之间转化的桥梁：
$$
A^\alpha = g^{\alpha\beta} A_\beta, \quad A_{\alpha} = g_{\alpha\beta} A^\beta
$$
它同样也是四维张量之间相互转换的桥梁，由定义 2.3 容易推出
$$
F^{\alpha\beta} = g^{\alpha u} F_{uv} g^{v\beta} = g^{\alpha u} F_{u}^{\cdot\beta} = F^{\alpha}_{\cdot u} g^{u\beta}
$$
这个规律同样适用于度规张量本身，容易算出
$$
g^{\cdot \beta}_\alpha = g^\alpha_{\cdot\beta} = \mathbf{I}
$$
另外有一些简单的结论，比如
命题 2.1. 若 $F_{\alpha\beta}$ 是四维张量，$A_\alpha, B_\beta$ 是四维协变矢量，则 $F_{\alpha\beta}F^{\beta\alpha}$ 和 $A_{\alpha}B_\beta F^{\alpha\beta}$ 是四维标量。
本节最后我们给出一些闵可夫斯基空间中的微积分。
定义 2.4（四维微分运算）. 考虑四维标量场 $\phi$，其四维梯度（协变形式）定义做
$$
{\color{orange}{\partial_\alpha\phi} = } \frac{\partial \phi}{\partial x^\alpha} := \left(\frac{1}{c}\frac{\partial \phi}{\partial t}, \nabla \phi\right)
$$
对应的逆变形式为
$$
{\color{orange}{\partial^\alpha\phi} = } \frac{\partial \phi}{\partial x_\alpha} := \left(\frac{1}{c}\frac{\partial \phi}{\partial t}, -\nabla \phi\right)
$$
对于四维向量场 $A^\alpha = (A^0, \boldsymbol{A})$，可以定义其四维散度为
$$
\partial_\alpha A^\alpha = \partial ^\alpha A_\alpha = \frac{1}{c}\frac{\partial A^0}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{A}
$$
类似于拉普拉斯算子，可以定义闵可夫斯基空间中的达朗贝尔算子 $\square := \partial_\alpha \partial^\alpha$。
命题 2.2. 逆变形式的四维梯度的作用结果是四维逆变矢量场，四维散度的作用结果是四维标量场，四维达朗贝尔算子的作用结果是四维标量场。
证明.
直接验证。有
$$
\begin{aligned}
\partial^\alpha \phi = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial \phi}{\partial t}, -\nabla \phi\right)
\end{aligned}
$$
第一个分量：
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{c}\frac{\partial \phi}{\partial t} &= \frac{1}{c}\left(\frac{\partial \phi}{\partial t’} \frac{\partial t’}{\partial t} + \frac{\partial \phi}{\partial x’}\frac{\partial x’}{\partial t}\right) \\
&= \gamma \cdot \frac{1}{c}\frac{\partial \phi}{\partial t’} - \beta\gamma \frac{\partial \phi}{\partial x’}
\end{aligned}
$$
这正是 $\partial^\alpha \phi’$ 乘上 $\mathscr{L}$ 的第一行。其他分量也是类似的，多说无益。
对于四维散度，也是类似的验证，这里掠过。$\blacksquare$
粒子的常见四维量
对于一个粒子而言，我们已经知道时空间隔 $s$ 和固有时 $\tau$、静止质量 $m_0$（本文未涉及）都是四维标量，其位置为四维向量。可以用这些量构造新的四维量。
定义 2.5（四维速度）. 基于四维位移和固有时构造四维速度 $u^\alpha = \mathrm{d}x^\alpha / \mathrm{d}\tau$。
显然有 $u^\alpha = (\gamma c, \gamma v_x, \gamma v_y, \gamma v_z)$。从而“四维速率” $u^\alpha u_\alpha$ 是一个四维标量。直接计算得到
$$
u^\alpha u_\alpha = \gamma^2(c^2 - v^2) = c^2
$$
一个有趣而深刻的结论。
类似地，四维动量 $p^\alpha = m_0 u^\alpha$，四维加速度 $a^\alpha = \mathrm{d} v^\alpha / \mathrm{d}\tau$ 和四维力 $F^\alpha = m_0 a^\alpha$ 都是四维量。
张量与物理规律的不变性
上述定义提示了一个重要的结论：如果一个物理规律可以用一个张量等式
$$
\mathbf{F} = \mathbf{T}
$$
描述，那么这个物理规律在一切参考系下都有相同的形式。