PKU Summer School 2025 | 1 基础知识

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Abstract. 主要包括可能使用的布朗运动、伊藤积分、随机微分方程等内容。受限于水平只能暂时略去一切严格推导，仅给出直觉和应用此种工具之手段。

布朗运动

动机. 考虑一个数轴上的简单随机游走过程：$X_1 = 0, X_{n + 1} = X_n + Z_{n + 1}$，其中 $Z_{n + 1}$ 以均匀的概率取 $\pm 1$。根据中心极限定理

$$
\frac{X_{\lfloor nt\rfloor}}{\sqrt n} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, t)
$$

这样 rescale 之后的“不规则运动”就是布朗运动。

等价地，将布朗运动定义做如下的高斯过程：

定义 1.1（布朗运动）. 布朗运动 $(B_t : t\geq 0)$ 是满足如下条件的随机过程：

  1. 对于任意互不相同的 $t_1, …, t_n$，有 $(B_{t_1}, …, B_{t_n})$ 是一个期望为 $\boldsymbol{0}$ 的高斯向量；
  2. （独立增量）对于任意的 $s < t$，有 $B_t - B_s$ 与 $B_s$ 独立；
  3. $\mathbb{E}[B_tB_s] = \min(s, t)$；
  4. 以概率 $1$ 有 $B(t)$ 是一个连续函数。

可以证明满足以上四条条件的随机过程存在且唯一，这里受限于个人水平略去证明。以下是一些布朗运动的性质：

  1. 以概率 $1$ 有 $B(t)$ 处处连续，处处不可导；
  2. $B(t)$ 是一个鞅。

伊藤积分

回忆我们曾在高等数学课程中学习过 Riemann-Stieltjes 积分：对于 $h\in \mathrm{C}^1$，

$$
\int_0^t f(s)\mathrm{d}h(s) := \lim_{n\rightarrow \infty, \max(s_{i + 1} - s_i) \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n - 1}f(\xi_i)(h(s_{i + 1}) - h(s_i)), \quad \text{ where } \xi_i\in [s_i, s_{i + 1}]
$$

出于以下动机，希望将 $h$ 改作一个布朗运动作为一个新的工具，“随机积分”，来使用：

赌博策略. 考虑某通货的价格由一个定义在滤子 $(\mathcal{F}_{t} : t\geq 0)$ 随机过程 $(B_t : t\geq 0)$ 给出，你采取如下策略进行交易，$T$ 时间后平仓：

  1. 将 $[0, T]$ 划分成若干个区间，断点为 $0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_{n} = T$。
  2. 在 $t_i$ 时间买入 $Y_{t_i}$ 单位该商品，在 $t_{i + 1}$ 时间全部卖出，其中 $Y_{t_i}$ 是 $\mathcal{F}_{t}$ 可测的。（$Y_{t_i}$ 描述了你在 $[t_i, t_{i + 1}]$ 时间内的仓位，只能通过此前的曲线决定，这种性质称为）

整个过程的收益如下：

$$
X_n = \sum_{i=1}^n Y_{t_i} (B_{t_{i + 1}} - B_{t_i})
$$

这个式子形似 R-S 积分的离散化手法。

Remark. 遗憾的是，可以验证，如果 $(B_t)$ 是一个鞅，那么 $(X_n)$ 也是一个鞅。根据可选停时定理，即使采取一定的策略，期望意义下也无法赚钱。

然而 R-S 积分的结论并不能直接应用到随机积分之中。因为布朗运动处处不可导，并且，对于布朗运动，离散化后求和的极限取决于你如何选择 $\xi_i$。考虑如下例子：

例子 2.1. 对于积分

$$
\int_0^1 B_t \mathrm{d}B_t
$$

设 $I_1(n), I_2(n)$ 分别是将 $\xi_i$ 取作对应区间左端点和右端点后求和的结果。容易验证

$$
I_2(n) - I_1(n) = \sum_{i = 0}^{n - 1} (B(s_{i + 1}) - B(s_i))^2
$$

取期望后知道这两者的差距为 $1$。事实上有 $I_1(n)\xrightarrow{P} \frac 12 (B_1^2 - 1)$ 和 $I_2(n)\xrightarrow{P} \frac 12 (B_1^2 + 1)$。

根据我们的动机，我们将始终取左端点。另有一种将 $\xi_i$ 取作区间中点的随机积分，称为 Stratorovich 积分。

定义 2.1（伊藤积分）. 对于布朗运动 $(B_t : t\geq 0)$，定义

$$
\int_0^t Y_s\mathrm{d}B_s := \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^n Y_{t_i}(B_{t_{i + 1}} - B_{t_i})
$$

其中 $Y_{s}$ 是 $\{B_t : t\leq s\}$ 可测的。

可以证明该极限是良定义的。接下来，我们希望在伊藤积分中模拟经典微积分的结果，如牛顿-莱布尼兹公式等。然而，牛顿-莱布尼兹公式对于伊藤积分并不成立，事实上还需要补正一个修正项。

首先考虑 $Y_s$ 是 $B_s$ 的函数（即 $Y_s = f(B_s)$，而与 $s$ 本身无关）的情形，称此类积分为时间齐性的。我们从推导牛顿-莱布尼兹公式的方法入手，将和式每一项展开至二阶小量

$$
\begin{aligned}
f(B_{t_{i + 1}}) - f(B_{t_i}) = (B_{t_{i + 1}} - B_{t_i}) f’(B_{t_i}) + \frac{1}{2}(B_{t_{i + 1}} - B_{t_i})^2 f’’(B_{t_i}) + o\left(\sum_{i=1}^{n - 1} \left| B_{t_{i + 1}} - B_{t_i}\right|^2\right)
\end{aligned}
$$

容易发现第一项提供了牛顿-莱布尼兹公式的形式，第三项是 $o(1)$ 的，第二项就是我们想要的修正项。可以证明：

$$
\sum_{i=1}^{n - 1} (B_{t_{i + 1}} - B_{t_i})^2 f’’(B_{t_i}) \xrightarrow{P} \int_0^t f’’(B_s)\mathrm{d}s \qquad (n\rightarrow \infty)
$$

这里的直觉是 $(B_{t_{i + 1}} - B_{t_i})^2$ 是高度集中于 $t_{i + 1} - t_i$ 的。综上直觉上有

定理 2.1. 在伊藤积分的意义下有

$$
f(B_t) - f(B_0) = \int_0^t f’(B_s)\mathrm{d}B_s + \frac{1}{2}\int_0^t f’’(B_s)\mathrm{d}s
$$

或者写作微分的形式有

$$
\mathrm{d} f(B_t) = f’(B_t)\mathrm{d}B_t + \frac 12 f’’(B_t)\mathrm{d}t
$$

此外我们还想要模拟链式法则：若 $\mathrm{d}f(t) = g(t)\mathrm{d}t$，则 $\mathrm{d} h(f(t)) = h’(f(t))g(t)\mathrm{d}t$。在随机微分的情形下，希望知道若 $\mathrm{d}X_t = Y_t\mathrm{d}t + Z_t\mathrm{d}B_t$，$\mathrm{d}f(X_t)$ 几何？

仿造先前的思路，注意

$$
f(X_{t_{i + 1}}) - f(X_{t_i}) = f’(X_{t_i})(X_{t_{i + 1}} - X_{t_i}) + \frac{1}{2} f’’(X_{t_i})(X_{t_{i + 1}} - X_{t_i})^2 + o\left(\left|X_{t_{i + 1}} - X_{t_i}\right|^2\right)
$$

换入 $X_{t_{i + 1}} - X_{t_i} = Y_{t_i}(t_{i + 1} - t_i) + Z_{t_i}(B_{t_{i + 1}} - B_{t_i}) + o(?)$，第一项立即可以求和，第三项求和后为小量，兹重点考虑第二项，有

$$
\frac{1}{2} f’’(X_{t_i})\left(Y_{t_i}(t_{i + 1} - t_i) + Z_{t_i}(B_{t_{i + 1}} - B_{t_i})\right)^2 \approx \frac 12 f’’(X_{t_i})Z_{t_i}^2(B_{t_{i + 1}} - B_{t_i})^2
$$

（注意除了第二项的平方外，其余乘积都产生高阶小量）。同样可以证明

$$
\sum_{i=1}^{n - 1}f’’(X_{t_i})Z_{t_i}^2(B_{t_{i + 1}} - B_{t_i})^2 \xrightarrow{P}\int_0^t f’’(X_{t_i}) Z_s^2 \mathrm{d}s
$$

据此直觉可总结出

定理 2.2. 在伊藤积分的意义下有

$$
f(X_t) - f(X_0) = \int_0^t f’(X_s)\mathrm{d}X_s + \frac 12\int_0^t f’’(X_s)Z_s^2\mathrm{d}s
$$

或者写作微分的形式有

$$
\mathrm{d}f(X_t) = f’(X_t)\mathrm{d}X_t + \frac 12 f’’(X_t)Z_t^2\mathrm{d}t
$$

另外可以定义 $X_t$ 的二次变差

$$
\langle X\rangle_t := \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n - 1} (X_{t_{i + 1}} - X_{t_i})^2
$$

可以验证 $\mathrm{d}\langle X\rangle_t = Z_t^2\mathrm{d}t$，因此

$$
\mathrm{d}f(X_t) = f’(X_t)\mathrm{d}X_t + \frac 12 f’’(X_t)\mathrm{d}\langle X\rangle_t
$$

最后谈几个伊藤积分得其他结论。

拓展到时间非齐性的情形. 有

$$
\mathrm{d}f(t, X_t) = \frac{\partial f}{\partial t}(t, X_t)\mathrm{d}t + \frac{\partial f}{\partial x}(t, x_t)\mathrm{d}X_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(t, X_t)\mathrm{d}\langle X\rangle_t \label{non-homogenuous}
$$

以及对应的积分形式

$$
f(t, X_t) - f(0, X_0) = \int_0^t \left(\frac{\partial f}{\partial t}(t, X_t) + \frac{Z_t^2}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(t, X_t)\right)\mathrm{d}t + \int_0^t \frac{\partial f}{\partial x}(t, x_t)\mathrm{d}X_t
$$

拓展到高维. 若 $\mathrm{d}\boldsymbol{X}_t = \boldsymbol{Y}_t\mathrm{d}t + \mathbf{Z}_t\mathrm{d}\boldsymbol{B}_t$，其中 $\boldsymbol{X}_t, \boldsymbol{Y}_t\in \mathbb{R}^d$，$\mathbf{Z}_t\in \mathbb{R}^{d\times d}$，$\boldsymbol{B}_t$ 为 $d$ 维布朗运动。则

$$
\mathrm{d}f(\boldsymbol{X}_t) = \nabla f(\boldsymbol{X}_t)^\top \boldsymbol{Y}_t\mathrm{d}t + \nabla f(\boldsymbol{X}_t)^\top \mathbf{Z}_t \mathrm{d}\boldsymbol{B}_t + \frac 12 \mathrm{tr}\left(\mathbf{Z}_t^\top \nabla^2 f(\boldsymbol{X}_t) \mathbf{Z}_t\right)\mathrm{d}t
$$

Ito Isometry. 令 $B_t$ 是一个布朗运动，则

$$
\mathbb{E}\left[\left(\int_0^t \Delta(s)\mathrm{d} B_s\right)^2\right] = \mathbb{E}\left[\int_0^t \Delta(s)^2 \mathrm{d}s\right]
$$

随机微分方程

本课程中我们将经常遇到如下的方程，即扩散过程的随机微分方程

$$
\mathrm{d}X_t = b_t(X_t)\mathrm{d}t + \Sigma_t(X_t)^{\frac 12}\mathrm{d}B_t
$$

其中 $b_t(X_t)\mathrm{d}t$ 称为漂移项，$\Sigma_t(X_t)^{\frac 12}\mathrm{d}B_t$ 称为噪声项。本节来看几个此类随机微分方程。

例子 3.1（Ornstein-Uhlembeck 过程）. 解

$$
\mathrm{d}X_t = -X_t\mathrm{d}t + \mathrm{d}B_{t}
$$

其中 $X_0 = 0$。

解这个 SDE 用的技巧类似于用凑微分法解 ODE，首先根据 $\ref{non-homogenuous}$ 注意到

$$
\mathrm{d} e^t X_t = e^t\mathrm{d}X_t + e^t X_t \mathrm{d}t
$$

因此只需解

$$
\mathrm{d}e^t X_t = e^t\mathrm{d}B_t
$$

两边取伊藤积分，得解是

$$
X_t = e^{-t}\int_0^t e^s \mathrm{d}B_s
$$

现在要计算后面的积分，绕来绕去似乎没什么好办法，但可以注意到它一定是一个正态分布（拆成求和由独立增量性看出），因此我们只需要分析其期望和方差。显然其期望为 $0$，方差可用 Ito isometry 算出是

$$
\mathbb{E}\left[\left(\int_0^t e^s\mathrm{d}B_s\right)^2\right] = \int_0^t e^{2s}\mathrm{d}s = \frac{e^{2t} - 1}{2}
$$

因此有

$$
\boldsymbol{X}_t \sim \mathcal{N}\left(0, \frac{1 - e^{-2t}}{2}\right)
$$

例子 3.2（Langevin 扩散）. 解

$$
\mathrm{d}\boldsymbol{X}_t = -\frac 12 \nabla f(\boldsymbol{X}_t) + \mathrm{d}\boldsymbol{B}_t
$$

Non-trivial，日后再谈。

例子 3.3（Black-Scholes 模型）. 解

$$
\mathrm{d}X_t = \mu X_t\mathrm{d}t + \sigma X_t \mathrm{d}B_t
$$

注意此方程产生的解将满足：

  1. 初值为 $X_0$；
  2. 永远为正；
  3. 大面上为指数级增长，附加噪声。

据此使用解 ODE 的经典技术，猜

$$
X_t = X_0\exp\left(at + bB_t\right)
$$

后用时间非齐性的 Ito 公式 $(\ref{non-homogenuous})$ 算出

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d}S_t &= \left(a + \frac{b^2}{2}\right) x_0\exp(at + bB_t)\mathrm{d}t + bx_0\exp(at + bB_t)\mathrm{d}B_t \\
&= \left(a + \frac{b^2}{2}\right)X_t\mathrm{d}t + bX_t\mathrm{d}t
\end{aligned}
$$

对比系数知道取 $a = \mu - \sigma^2 / 2, b = \sigma$ 便找到一组解

$$
X_t = \exp\left(\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma B_t\right)
$$

这个随机过程称为几何布朗运动。