力学 | 1 分析力学导论
Abstract. 简单介绍分析力学的思路。
引入
考虑经典的双摆问题。
题 1.1. 在均匀重力场中，一个定点下以一长为 $l_1$ 的轻绳悬挂一质量为 $m_1$ 的质点，而这个质点下又以一长为 $l_2$ 的轻绳悬挂一质量为 $m_2$ 的质点，绳均不可拉伸。现在从某一处状态（如轻绳 $1$ 与竖直方向夹角为 $\theta_1$，轻绳 $2$ 与竖直方向夹角为 $\theta_2$）释放之，求两个质点运动的轨迹方程。
如果使用牛顿力学的方法来解此问题，免不了讨论绳的张力等，需要及其繁琐的受力分析。然而如果使用分析力学的方法，从广义坐标和拉格朗日量出发，就可以规避对张力的讨论，运动方程可直接从欧拉 - 拉格朗日方程中解出。总的来说，这一套方法将有如下优点：
- 在经典力学范畴中与牛顿力学等价；
- 能体现对称性和守恒定律的深刻关联；
- 能处理更一般的力学系统（e.g. 考虑相对论等）。
约束与广义坐标
我们从牛顿力学出发推导分析力学的框架。本章考虑的力学系统中 $n$ 个质点，其坐标依次为 $\boldsymbol{x_1}, …, \boldsymbol{x}_n$。然而该力学系统中可能存在各种各样的约束（例如在题 1.1 中，绳不可拉伸）。这些约束可以被含坐标（甚至其高阶导数）和时间的等式或不等式刻画。其中，形式最好的一类约束称作完整约束，它可以被坐标和时间的方程刻画：
$$
f(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, …, \boldsymbol{x}_n, t) \equiv 0
$$
如果约束是含时的，则称为不稳定约束，反之称为稳定约束。约束，即使是最好的完整约束，将为力学问题的求解带来两方面的麻烦：
- 坐标之间的独立性不复存在（$\boldsymbol{x}_1, …, \boldsymbol{x}_{n}$ 的范围不再是 $(\mathbb{R}^3)^n$，而是所有约束的解集）；
- 约束必将引入约束力。
我们在后面的讨论中逐步解决这两个问题。
第一个问题的解决办法是引入广义坐标。本章先假设只有 $k$ 个完整约束。考虑将约束的解集写成关于 $f = 3n - k$ 个独立变量 $q_1, …, q_f$ 和 $t$ 的参数方程
$$
\begin{cases}
\boldsymbol{x}_1 = \boldsymbol{x}_1(q_1, …, q_f, t) \\
\vdots \\
\boldsymbol{x}_n = \boldsymbol{x}_n(q_1, …, q_f, t)
\end{cases}
$$
这个参数方程将等价于原来的 $k$ 个完整约束。注意这只能处理完整约束。对于有非完整约束的情形，广义坐标的维数往往大于自由度 $f$，然而仍然可以用拉格朗日乘子之类的办法来解决。
虚功原理与达朗贝尔原理
本节解决约束力的问题。设作用在质点 $i$ 上的合力为 $\boldsymbol{F}_i$。它可以被分解为约束力和其他力（所谓的主动力）：$\boldsymbol{F}_i = \boldsymbol{F}_i^c + \boldsymbol{F}_i^a$。根据牛顿第二定律有
$$
\boldsymbol{F}_i - \dot{\boldsymbol{p}}_i = 0
$$
取坐标的变分 $\delta \boldsymbol{x}_i$，称作虚位移，有
$$
\sum_{i=1}^n (\boldsymbol{F}_i - \dot{\boldsymbol{p}}_i)\cdot \delta\boldsymbol{x}_i = 0 \label{newton-equ}
$$
注. 这里的变分系指使得约束仍然满足的无穷小增量。你可以验证链式法则（据 Einstein Summation Convention 略去 $\Sigma$，应当不影响理解）
$$
\delta \boldsymbol{x}_i = \frac{\partial \boldsymbol{x}_i}{\partial q_l} q_l
$$
为了进一步消除约束力，我们考察约束力在虚位移上做的功，称作虚功。注意在一类理想的约束（轻的、刚性的、光滑的物体相互作用产生的约束）下，整个系统的虚功总是为 $0$。比如一个一端锚定的可转动轻杆连接一个质点，杆对质点的作用力总是径向的，而运动方向总是切向的，因此约束力不做功。据此提炼出假设
假设 2.1（虚功原理）. 假设对于一切约束都有
$$
\sum_{i=1}^n \boldsymbol{F}_i^c\cdot \delta \boldsymbol{x}_i \equiv 0
$$
将其代入 $\ref{newton-equ}$ 中得到
推论 2.2（达朗贝尔原理）.
$$
\sum_{i=1}^n (\boldsymbol{F}_i^a - \dot{\boldsymbol{p}}_i) \cdot \delta \boldsymbol{x}_i = 0 \label{dalembert}
$$
尝试向上式中换入广义坐标。先考察主动力的虚功
$$
\boldsymbol{F}_i^a\cdot \delta \boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}_i^a \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}_i}{\partial q_l} q_l := Q_l \delta q_l \label{active-force}
$$
这里定义了广义力 $Q_l := \boldsymbol{F}_i^a \cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}_i}{\partial q_l}$，你可以理解为这只是一个长得像力一样的坐标变换。接着考虑动量一项，有
$$
\begin{aligned}
\dot{\boldsymbol{p}}_i \cdot \delta \boldsymbol{x}_i &= m_i \ddot{\boldsymbol{x}}_i\cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}_i}{\partial q_l} q_l \\
&= \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(m_i\dot{\boldsymbol{x}}_i\cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}_i}{\partial q_l}\right) - m_i\dot{\boldsymbol{x}}_i\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\boldsymbol{x}_i}{\partial q_l}\right)\right)q_l \\
&= \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(m_i\dot{\boldsymbol{x}}_i\cdot \frac{\partial \boldsymbol{x}_i}{\partial q_l}\right) - m_i\dot{\boldsymbol{x}}_i\cdot \frac{\partial\dot{\boldsymbol{x}}_i}{\partial q_l}\right)q_l
\end{aligned} \label{moment-term}
$$
注意到
$$
\boldsymbol{v}_i = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial \boldsymbol{x}_i}{q_l}\dot{q}_l + \frac{\partial \boldsymbol{x}_i}{\partial t} \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial \boldsymbol{v}_i}{\partial \dot{q}_l} = \frac{\partial \boldsymbol{x}_i}{\partial q_l} \label{lagrange}
$$
将 $(\ref{lagrange}), (\ref{moment-term}), (\ref{active-force})$ 一并换入 $(\ref{dalembert})$ 中，设系统的总动能为 $T := \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}m_i \boldsymbol{v}_i^2$，得到
$$
\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial T}{\partial q_j} - Q_j\right)\delta q_j = 0
$$
因为 $q_j$ 是独立变量，可以为任意方向，所以有
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial T}{\partial q_j} = Q_j \label{euler-lagrange}
$$
这类似于著名的欧拉-拉格朗日方程，只是等式右边多了一个 $Q_j$。若主动力来自一个势能 $V$，即
$$
\boldsymbol{F}_i^a = -\frac{\partial V}{\partial \boldsymbol{x}_i} \quad \Rightarrow \quad Q_j = -\frac{\partial V}{\partial q_j}
$$
定义拉格朗日量 $L = T - V$，则显然 $\ref{euler-lagrange}$ 等价于
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0
$$
正是原汁原味的欧拉-拉格朗日方程。
弱耗散系统的运动方程
上述推导中考虑的系统都是无耗散的（主动力只和势能有关）。本节我们考虑质点在介质中运动的耗散情况，即主动力除了来自势能以外，还可以来自一个粘滞力 $\boldsymbol{F}^D$，这里 $\boldsymbol{F}^D$ 是 $v_1, …, v_n$ 的函数，且 $\mathbf{F}$ 是一个小量，可取一阶近似
$$
\boldsymbol{F}^D = -\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \boldsymbol{v}}, \quad \text{ where } \mathcal{F} := \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(k_1 v_{i, 1}^2 + k_2 v_{i, 2}^2 + k_3 v_{i, 3}^2\right)
$$
其中 $k_1, k_2, k_3$ 分别是各个方向上的粘滞系数，$\mathcal{F}$ 称作瑞利耗散函数。其物理意义为时间微元内抵抗耗散力所做的功，注意 $\mathrm{d}W = -\boldsymbol{F}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{x} = 2\mathcal{F}\mathrm{d}t$。现在，来自粘滞力部分的主动力对应的广义力即为
$$
\boldsymbol{F}^D\cdot \frac{\partial x_i}{\partial q_j} = -\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \dot{q_j}}
$$
从而弱耗散系统中的拉格朗日方程为
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q_j} + \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \dot{q_j}} = 0
$$