【Under Construction】常微分方程 (2) 解的存在性和唯一性

Abstract.

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引理 1.1（Gronwall 不等式）. 假设 $f(x),g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，$g(x)\ge 0$，$c$ 是常数，则

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f(x)\le c+{\int }_a^{x}g(s)f(s)\mathrm{d}x\end{array}$$

蕴含

$$\begin{array}{}\text{(2)}& f(x)\le {\mathrm{e}}^{{\int }_a^{x}g(s)\mathrm{d}s}\end{array}$$

证明.

考虑

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \mathrm{\Phi }(x)={\int }_a^{x}g(s)f(s)\mathrm{d}s\end{array}$$

有

$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x)=g(x)f(x)\le g(x)(c+\mathrm{\Phi }(x))\end{array}$$

即

$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x)-g(x)\mathrm{\Phi }(x)\le cg(x)\end{array}$$

对左边进行配凑

$$\begin{array}{}\text{(6)}& [{\mathrm{e}}^{-{\int }_a^{x}g(s)\mathrm{d}s}\mathrm{\Phi }(x){]}^{\prime }\le cg(x){\mathrm{e}}^{-{\int }_a^{x}g(s)\mathrm{d}s}\end{array}$$

此时对两边同时从 $a$ 积分到 $x$ 得到

$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\mathrm{e}}^{-{\int }_a^{x}g(s)\mathrm{d}s}\mathrm{\Phi }(x)\le {\int }_a^{x}cg(s){\mathrm{e}}^{-{\int }_a^{s}g(t)\mathrm{d}t}\mathrm{d}s=c(1-{\mathrm{e}}^{-{\int }_a^{x}g(s)\mathrm{d}s})\end{array}$$

最终

$$\begin{array}{}\text{(8)}& f(x)\le c+\mathrm{\Phi }(x)\le c+c({\mathrm{e}}^{{\int }_a^{x}g(s)\mathrm{d}s}-1)=c{\mathrm{e}}^{{\int }_a^{x}g(s)\mathrm{d}s}\end{array}$$

明所欲证。

Remark. 对于更一般的情况（将 $c$ 换成 $h(x)$），可以放缩到 $(7)$ 式前半部分的程度，若 $h(x)$ 单调递增，则可以放缩到与本定理类似的结果。

定义 1.2. $\mathrm{\Lambda }$ 是一个无限集，$I\subseteq R$，$\{f_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathrm{\Lambda }}$ 是定义在 $I$ 上的一族函数。

• 称 $\{f_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathrm{\Lambda }}$ 在 $I$ 上一致有界，若存在常数 $M$ 使得

  $$\begin{array}{}\text{(9)}& |f_{\alpha }(x)|\le M,\mathrm{\forall }\alpha \in \mathrm{\Lambda },\mathrm{\forall }x\in I\end{array}$$

• 称 $\{f_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathrm{\Lambda }}$ 在 $I$ 上等度连续，若对于任意的 $\epsilon$，都存在 $\delta$ 使得对于任意的 $x,y\in I,|x-y|<\delta$ 和 $\alpha \in \mathrm{\Lambda }$ 都有

  $$\begin{array}{}\text{(10)}& |f_{\alpha }(x)-f_{\alpha }(y)|<\epsilon \end{array}$$

引理 1.3（Ascoli-Arzelà）. 若 $\mathrm{\Lambda }$ 可数，$\{f_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathrm{\Lambda }}$ 在 $[a,b]$ 上一致有界、等度连续，则其有在 $[a,b]$ 上一致收敛的子列。

本引理类似于函数上的 Bolzano-Weierstrass 定理。不难想象证明路径大致为：证明存在一个在 $\mathbb{Q}\cap [a,b]$ 上一致收敛的子列 $\Rightarrow$ 用一致连续性推广到整个 $[a,b]$。我们引入下面两个一般性的结果：

引理 1.4. 若 $\mathrm{\Lambda }$ 可数，$\{f_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathrm{\Lambda }}$ 在 $E\subset \mathbb{R}$ 一致有界，则对于任意的可数点列 $\{x_m\}$，都存在一个子列使得 $\{f_{{\alpha }_k}(x_m)\}$ 均收敛（$\mathrm{\forall }m$）。

证明.

$\{f_{\alpha }(x_1){\}}_{\alpha \in \mathrm{\Lambda }}$ 是有界的，根绝 Bolzano-Weierstrass 定理存在一个收敛子列

$$\begin{array}{}\text{(11)}& f_{11}(x_1),f_{12}(x_1),\dots ,f_{1n}(x_1),\dots \end{array}$$

即函数列 $f_{11},\dots ,f_{1n},\dots$ 在 $x_1$ 上收敛。现在 $f_{11}(x_2),\dots ,f_{1n}(x_2),\dots$ 也有界，于是有收敛子列：

$$\begin{array}{}\text{(12)}& f_{21}(x_2),f_{22}(x_2),\dots ,f_{2n}(x_2),\dots \end{array}$$

重复此过程，得到可数个函数列

$$\begin{array}{}\text{(13)}& & f_{11},f_{21},\dots ,f_{1n},\dots \text{(14)}& & f_{21},f_{22},\dots ,f_{2n},\dots \text{(15)}& & \dots \end{array}$$

满足 $f_{i1},\dots ,f_{in},\dots$ 在 $x_1,\dots ,x_i$ 上收敛。遂取 $f_{11},f_{22},\dots ,f_{nn},\dots$，发现其在 $\{x_m\}$ 上都收敛。

引理 1.5. $\{f_{\alpha }(x_1){\}}_{\alpha \in \mathrm{\Lambda }}$ 在紧集 $E$ 上等度连续，且存在稠密子集 $E_0\subset E$ 使得 $\{f_n\}$ 在此子集上点点收敛，则 $\{f_n\}$ 在 $E$ 上一致收敛。

证明.

即证明 $\mathrm{\forall }\epsilon$，存在 $N$ 使得 $\mathrm{\forall }n,m>N$ 都有 $|f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon$。

现在固定 $\epsilon$，等度连续性指出对于任意的 $x$ 都存在 $\delta$ 使得若 $|y-x|<\delta$ 则 $|f_n(y)-f_n(x)|<\epsilon /3$。我们用 $U(x,\delta )$ 表示 $\{y:|y-x|<\delta \}$。那么由于 $E_0$ 是稠密的

$$\begin{array}{}\text{(16)}& E\subseteq \bigcup _{x\in E_0}U(x,\delta )\end{array}$$

由于 $E$ 是紧集，$\{U(x,\delta ){\}}_{x\in E_0}$ 是其开覆盖，必然存在一个有限子覆盖

$$\begin{array}{}\text{(17)}& E\subseteq \bigcup _{i=1}^{k}U(x_i,\delta )\end{array}$$

由于 $\{f_n\}$ 在 $E_0$ 上点点收敛，对于任意的 $x_i$ 都存在 $N$ 使得 $n,m>N$ 时都有 $|f_n(x_i)-f_m(x_i)|<\epsilon /3$。鉴于现在 $x_i$ 只有有限个，存在一个最大的 $N$ 使得对于所有的 $x_i$ 此条件都满足。现在有若 $x\in U(x_i,\delta )$，则

$$\begin{array}{}\text{(18)}& |f_n(x)-f_m(x)|\le |f_n(x)-f_n(x_i)|+|f_n(x_i)-f_m(x_i)|+|f_m(x_i)-f_m(x)|<\epsilon \end{array}$$

明所欲证。

$\mathbb{Q}$ 的定义保证 $\mathbb{Q}\cap [a,b]$ 是一个 $[a,b]$ 上的可数稠密子集，有限覆盖定理保证了 $[a,b]$ 是紧集。因此上方两引理立即推出 Ascoli-Arzelà 引理成立。

Remark. 上方证明加一些琐碎的修改即可导出结论对于开区间 $(a,b)$ 也成立。