【Under Construction】常微分方程 (2) 解的存在性和唯一性
Abstract.
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引理 1.1（Gronwall 不等式）. 假设 $f(x), g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，$g(x)\geq 0$，$c$ 是常数，则
$$
f(x)\leq c + \int_a^x g(s)f(s)\mathrm{d}x
$$
蕴含
$$
f(x) \leq \mathrm{e}^{\int_a^x g(s)\mathrm{d}s}
$$
证明.
考虑
$$
\Phi(x) = \int_a^x g(s)f(s)\mathrm{d}s
$$
有
$$
\Phi’(x) = g(x)f(x) \leq g(x)(c + \Phi(x))
$$
即
$$
\Phi’(x) - g(x)\Phi(x) \leq cg(x)
$$
对左边进行配凑
$$
[\mathrm{e}^{-\int_a^x g(s)\mathrm{d}s} \Phi(x)]’ \leq cg(x)\mathrm{e}^{-\int_a^x g(s)\mathrm{d}s}
$$
此时对两边同时从 $a$ 积分到 $x$ 得到
$$
\mathrm{e}^{-\int_a^x g(s)\mathrm{d}s}\Phi(x) \leq \int_a^x cg(s)\mathrm{e}^{-\int_a^s g(t)\mathrm{d}t}\mathrm{d}s = c(1 - \mathrm{e}^{-\int_a^x g(s)\mathrm{d}s})
$$
最终
$$
f(x) \leq c + \Phi(x) \leq c + c(\mathrm{e}^{\int_a^xg(s)\mathrm{d}s} - 1) = c\mathrm{e}^{\int_a^xg(s)\mathrm{d}s}
$$
明所欲证。
Remark. 对于更一般的情况（将 $c$ 换成 $h(x)$），可以放缩到 $(7)$ 式前半部分的程度，若 $h(x)$ 单调递增，则可以放缩到与本定理类似的结果。
定义 1.2. $\Lambda$ 是一个无限集，$I\subseteq R$，$\{f_\alpha\}_{\alpha\in\Lambda}$ 是定义在 $I$ 上的一族函数。
称 $\{f_\alpha\}_{\alpha\in\Lambda}$ 在 $I$ 上一致有界，若存在常数 $M$ 使得
$$
|f_{\alpha}(x)|\leq M, \forall \alpha\in \Lambda, \forall x \in I
$$称 $\{f_\alpha\}_{\alpha\in\Lambda}$ 在 $I$ 上等度连续，若对于任意的 $\varepsilon$，都存在 $\delta$ 使得对于任意的 $x, y\in I, |x-y| < \delta$ 和 $\alpha\in \Lambda$ 都有
$$
|f_\alpha(x) - f_\alpha(y)| < \varepsilon
$$
引理 1.3（Ascoli-Arzelà）. 若 $\Lambda$ 可数，$\{f_\alpha\}_{\alpha\in\Lambda}$ 在 $[a, b]$ 上一致有界、等度连续，则其有在 $[a, b]$ 上一致收敛的子列。
本引理类似于函数上的 Bolzano-Weierstrass 定理。不难想象证明路径大致为：证明存在一个在 $\mathbb{Q} \cap [a, b]$ 上一致收敛的子列 $\Rightarrow$ 用一致连续性推广到整个 $[a, b]$。我们引入下面两个一般性的结果：
引理 1.4. 若 $\Lambda$ 可数，$\{f_\alpha\}_{\alpha\in\Lambda}$ 在 $E\subset \mathbb{R}$ 一致有界，则对于任意的可数点列 $\{x_m\}$，都存在一个子列使得 $\{f_{\alpha_k}(x_m)\}$ 均收敛（$\forall m$）。
证明.
$\{f_\alpha(x_1)\}_{\alpha\in\Lambda}$ 是有界的，根绝 Bolzano-Weierstrass 定理存在一个收敛子列
$$
f_{11}(x_1), f_{12}(x_1), …, f_{1n}(x_1), …
$$
即函数列 $f_{11}, …, f_{1n}, …$ 在 $x_1$ 上收敛。现在 $f_{11}(x_2), …, f_{1n}(x_2), …$ 也有界，于是有收敛子列：
$$
f_{21}(x_2), f_{22}(x_2), …, f_{2n}(x_2), …
$$
重复此过程，得到可数个函数列
$$
\begin{align}
&f_{11}, f_{21}, …, f_{1n}, … \\
&f_{21}, f_{22}, …, f_{2n}, … \\
&…
\end{align}
$$
满足 $f_{i1}, …, f_{in}, …$ 在 $x_1, …, x_i$ 上收敛。遂取 $f_{11}, f_{22}, …, f_{nn}, …$，发现其在 $\{x_m\}$ 上都收敛。
引理 1.5. $\{f_\alpha(x_1)\}_{\alpha\in\Lambda}$ 在紧集 $E$ 上等度连续，且存在稠密子集 $E_0\subset E$ 使得 $\{f_n\}$ 在此子集上点点收敛，则 $\{f_n\}$ 在 $E$ 上一致收敛。
证明.
即证明 $\forall \varepsilon$，存在 $N$ 使得 $\forall n, m > N$ 都有 $|f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon$。
现在固定 $\varepsilon$，等度连续性指出对于任意的 $x$ 都存在 $\delta$ 使得若 $|y-x| < \delta$ 则 $|f_n(y) - f_n(x)| < \varepsilon / 3$。我们用 $U(x, \delta)$ 表示 $\{y : |y - x| < \delta\}$。那么由于 $E_0$ 是稠密的
$$
E \subseteq \bigcup_{x\in E_0} U(x, \delta)
$$
由于 $E$ 是紧集，$\{U(x, \delta)\}_{x\in E_0}$ 是其开覆盖，必然存在一个有限子覆盖
$$
E\subseteq \bigcup_{i=1}^k U(x_i, \delta)
$$
由于 $\{f_n\}$ 在 $E_0$ 上点点收敛，对于任意的 $x_i$ 都存在 $N$ 使得 $n, m > N$ 时都有 $|f_n(x_i) - f_m(x_i)| < \varepsilon / 3$。鉴于现在 $x_i$ 只有有限个，存在一个最大的 $N$ 使得对于所有的 $x_i$ 此条件都满足。现在有若 $x\in U(x_i, \delta)$，则
$$
|f_n(x) - f_m(x)|\leq |f_n(x) - f_n(x_i)| + |f_n(x_i) - f_m(x_i)| + |f_m(x_i) - f_m(x)| < \varepsilon
$$
明所欲证。
$\mathbb{Q}$ 的定义保证 $\mathbb{Q} \cap [a, b]$ 是一个 $[a, b]$ 上的可数稠密子集，有限覆盖定理保证了 $[a, b]$ 是紧集。因此上方两引理立即推出 Ascoli-Arzelà 引理成立。
Remark. 上方证明加一些琐碎的修改即可导出结论对于开区间 $(a, b)$ 也成立。