常微分方程 (1) 初等积分法

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Abstract. 本系列是柳彬，常微分方程，北京大学出版社（2021）的阅读笔记。

因为第一章没有什么具体的内容所以直接略过，我们对其中提到的“微分方程的几何直观”简单做一个省流，然后直接进入第二章 初等积分法。显然这里需要做大量的实践，但本文仅总结抽象的方法，如果需要实践材料可以回到原书或者参见任意一本习题集。

微分方程的几何直观

考虑一阶微分方程

$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(x, y)
$$

其中 $f(x, y)$ 是区域 $G$ 上的连续函数。

定义 1.1. 在区域 $G$ 中每一点 $P$ 上可以作一段以 $f(P)$ 为斜率的小线段 $l(P)$。$l(P)$ 称为该方程在 $P$ 处的线素。区域 $G$ 连同其上所有线素称为该方程的线素场。

下面的定理比较显然。

定理 1.2. 连续可微曲线 $\Gamma = \{(x, y) : y = \psi(x), x \in J\}$ 满足 $\psi(x), x\in J$ 是该方程的解的充分必要条件是曲线上每一点处的切线与该点处的线素场重合。

下图是 wolframalpha 绘制的方程 $x\mathrm{d}x + y\mathrm{d}y = 0$ 的线素场（link），可以直观地看到解曲线的形状大致是圆形。

恰当方程

定义 2.1. 下面的形式称为一阶微分方程的对称形式：

$$
P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = 0
$$

Remark. 注意将 $\mathrm{d}x, \mathrm{d}y$ 随意的乘除之后和原来的微分方程等价不是一件显然成立的事情。但是之后的讨论表明这确实是一个合法的操作。

定义 2.2. 若存在连续可微函数 $\Phi(x, y)$ 使得

$$
\mathrm{d}\Phi(x, y) = P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y
$$

则称方程 $(2)$ 是恰当方程或者全微分方程。此时

$$
\Phi(x, y) = c
$$

称为该方程的通积分。

此时如果 $\Phi(x, y)$ 确定了隐函数 $y = u(x)$（实际上也可以确定 $x = v(y)$，因为形式是对称的。不失一般性地，我们只讨论 $y$ 是 $x$ 的函数的情况）。我们可以证明 $u(x)$ 确实是方程

$$
y’ = -\frac{P(x, y)}{Q(x, y)}
$$

的一个解，因为事实上

$$
\Phi(x, u(x)) = c
$$

可以推出（两边对 $x$ 求导，由链式法则）

$$
\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x, u(x)) + \frac{\partial \Phi}{\partial y}(x, u(x))u’(x) = 0
$$

解出 $u’(x)$，综合 $\Phi$ 满足式 $(3)$ 得到

$$
u’(x) = -\frac{\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x, u(x))}{\frac{\partial \Phi}{\partial y}(x, u(x))} = -\frac{P(x, u(x))}{Q(x, u(x))}
$$

反过来，如果某个 $u(x)$ 是方程 $(5)$ 的解，那么恰当方程的条件直接给出式 $(7)$，而 $(7)\Rightarrow (6)$ 是微分中值定理的经典应用，得到 $\Phi$ 确实是通积分。

至此，我们说明了如果方程 $(5)$ 对应的对称形式是恰当方程，或者 $P, Q$ 同时乘上某个函数之后是恰当方程，那么 $\mathrm{d}x$ 和 $\mathrm{d}y$ 确实可以随意地乘除（全微分方程和原来的微分方程等价）。今后我们将混用这两种形式。

现在的 Big Problem 变成如何判断一个全微分方程是否为恰当方程。众所周知的关于二阶偏导交换顺序的结论和曲线曲线积分与路径无关的结论不难推出如下结果：

定理 2.3. 若 $P(x, y), Q(x, y)$ 为单连通区域 $D\subset \mathbb{R}^2$ 上的连续函数，且一阶偏导数 $\frac{\partial P}{\partial y}, \frac{\partial Q}{\partial x}$ 也连续。那么 $(3)$ 成为恰当方程的充分必要条件是

$$
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}
$$

因为此时下面的式子就是该方程的通积分

$$
\Phi(x, y) = \int_{(x_0, y_0)}^{(x, y)} P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = c
$$

其中 $(x_0, y_0)$ 为 $D$ 中一点，第二类曲线积分的曲线取 $D$ 中任意一条分段光滑曲线。

实践中求通积分时常用的手法有：

  1. 将积分曲线取作两段平行于坐标轴的线段，即

    $$
    \Phi(x, y) = \int_{x_0}^xP(t, y)\mathrm{d}t + \int_{y_0}^y Q(x_0, s)\mathrm{d}s
    $$

    这个做法也可以描述为将 $\Phi(x, y)$ 视作对 $x$ 求偏导之后恰为 $P(x, y)$ 的部分和一个只和 $y$ 有关的部分，然后逐步求解。

  2. 直接观察。

变量分离方程

若一个方程可以写成

$$
P_1(x)P_2(y)\mathrm{d}x + Q_1(x)Q_2(y)\mathrm{d}y = 0
$$

那么此方程为变量分离方程，容易看出 $P_2(y)Q_1(x)$ 非零的时候可以两边同时除掉，然后得到一个恰当方程。

例子. 若函数 $f(x, y)$ 满足 $f(tx, ty) = t^nf(x, y)$，那么称 $f$ 为 $n$ 次齐次函数。若 $M(x, y), N(x, y)$ 都是 $n$ 次齐次函数，那么

$$
M(x, y)\mathrm{d}x + N(x, y)\mathrm{d}y = 0
$$

称为 $n$ 次齐次方程。下面给出该方程的解法。

令 $y = ux$ 得到

$$
M(x, ux)\mathrm{d}x + N(x, ux)x\mathrm{d}u + N(x, ux)u\mathrm{d}x = 0
$$

稍作化简，利用 $M, N$ 的齐次性质得到

$$
x^n(M(1, u)+uN(1, u))\mathrm{d}x + x^{n+1}N(1, u)\mathrm{d}u
$$

是变量分离方程。接下来只需要讨论

$$
x^{n+1}(M(1, u)+uN(1, u)) = 0
$$

的解是否是原方程的解，然后对 $(15)$ 作积分即可。

一阶线性微分方程

下面的方程称为一阶线性微分方程

$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x)y = q(x)
$$

若 $q(x) = 0$，那么称为一阶齐次线性微分方程。从对称形式开始

$$
(p(x)y - q(x))\mathrm{d}x + \mathrm{d}y = 0
$$

齐次方程是变量分离方程，变换后直接积分可以得到

$$
\ln |y| + \int_{x_0}^x p(t)\mathrm{d}t = c
$$

于是

$$
y = \pm e^c \mathrm{e}^{-\int_{x_0}^x p(t)\mathrm{d}t} = c_1\mathrm{e}^{-\int_{x_0}^x p(t)\mathrm{d}t}
$$

其中 $c_1\ne 0$，而显然 $y=0$ 也是解，所以事实上范围是 $c_1$ 为任意实数。

接下来考虑非齐次方程，两边乘上 $\mathrm{e}^{\int_{x_0}^x p(t)\mathrm{d}t}$ 得到

$$
\mathrm{d}\mathrm{e}^{\int_{x_0}^x p(t)\mathrm{d}t}y = \mathrm{e}^{\int_{x_0}^x p(t)\mathrm{d}t}q(x)\mathrm{d}x
$$

于是

$$
y = \mathrm{e}^{-\int_{x_0}^x p(t)\mathrm{d}t}(c + \int_{x_0}^x\mathrm{e}^{\int_{x_0}^sp(t)\mathrm{d}t}q(s)\mathrm{d}s)
$$

上述变形都是充分必要的，所以通解给出了原方程的所有解。不难发现

定理 4.1. 上述方程满足如下性质：

  1. 齐次方程的解或者恒为 $0$，或者恒不为 $0$。
  2. 齐次方程的通解是 $\mathbb{R}$ 上的线性空间。
  3. 非齐次方程的解的存在区间和 $p(x), q(x)$ 有定义的范围一致。
  4. 非齐次方程的通解是一个 $\mathbb{R}$ 上的线性流形 $\boldsymbol{x} + \mathcal{A}$，其中 $\boldsymbol{x}$ 是一个特解，$\mathcal{A}$ 是其对应齐次方程的通解。
  5. 非齐次方程的初值问题的解是存在且唯一的。

积分因子

对于非恰当的对称形式，我们希望找到一个非零的 $\mu(x, y)$ 使得

$$
\mu(x, y)P(x, y)\mathrm{d}x + \mu(x, y) Q(x, y)\mathrm{d}y = 0
$$

是恰当方程，根据定理 2.3 这就是

$$
P(x, y)\frac{\partial \mu}{\partial y} - Q(x, y)\frac{\partial \mu}{\partial x} = \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\mu(x, y)
$$

然后求偏微分方程 $(24)$ 的求解并不比原方程的求解简单。但有下面的特殊情况：

定理 5.1. $(24)$ 有一个只依赖于 $x$ 的解的充分必要条件是

$$
G = -\frac{\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial x}}{Q(x, y)}
$$

只依赖于 $x$。其中一个解是

$$
\mu(x) = \mathrm{e}^{\int_{x_0}^x G(t)\mathrm{d}t}
$$

对称地，对于 $y$ 有类似的结果，我们省略不写，相信读者可以自动洞察其中的奥秘。

证明.

需要注意的是 $\mu$ 只依赖 $x$ 时 $(24)$ 将退化为常微分方程，其无非是

$$
\mu’ = G\mu
$$

容易解出 $\mu(x) = \mathrm{e}^{\int_{x_0}^x G(t)\mathrm{d}t}$ 是其中一个解。此时充分性和必要性都只是一些琐碎的验证工作。

定理 5.2. 给定 $\phi(x, y)$，$(23)$ 有形如 $\mu(\phi(x, y))$ 形的积分因子当且仅当

$$
\frac{\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}}{Q\frac{\partial \phi}{\partial x} - P\frac{\partial \phi}{\partial y}} = f(\phi(x, y))
$$

其中 $f$ 是某个一元连续函数。

证明.

必要性只需要代入验证，发现实际上

$$
f(x) = \frac{\mu’(x)}{\mu(x)}
$$

反过来带入 $\mu(x, y) = \mathrm{e}^{\int_{x_0}^{\phi(x, y)} f(t)\mathrm{d}t}$，发现确实成立。

至此可以简单讨论几类微分方程的解法。

例子 5.1. 解方程

$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{ax+by+c}{mx+ny+l}
$$

解法.
  • 若 $(a, b)$ 和 $(m, n)$ 线性无关，那么存在一种换元可以吃掉 $c, l$ 变成齐次方程；
  • 否则可以分离常数，然后换元 $u = mx + ny$ 得到一个分离变量方程。

例子 5.2（Bernoulli 方程）. 解方程

$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x)y = q(x)y^n
$$

其中 $n\ne 0, 1$。

解法.

先忽略平凡解 $y=0$，然后等式两边除掉 $y^n$，得到

$$
y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x)y^{1-n} = q(x)
$$

换元 $u = y^{1-n}$ 即可。

一阶隐式微分方程

考虑 $F(x, y, y’) = 0$，也就是 $y’$ 不方便写成 $f(x, y)$ 的情况。

微分法

假设成功地从 $F$ 中解出了 $y$。

$$
y = f(x, p), p = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
$$

那么

$$
p = \frac{\mathrm{d}f(x, p)}{\mathrm{d}x} = \frac{\partial y}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial p}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}
$$

也就是

$$
\frac{\partial f}{\partial p}p’ = p - \frac{\partial y}{\partial x}
$$

为一阶方程，是容易求解的。

例子 6.1.1（Clairaut 方程）. 解方程

$$
y = xp + f(p), p = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
$$

其中 $f’’(p)\ne 0$。

解法.

直接套入上述形式得到

$$
(x + f’(p))p’ = 0
$$

  • 若 $p’ = 0$，则 $p = c$，通解为 $y = cx + f(c)$。

  • 若 $x + f’(p) = 0$，那么得到另一个解

    $$
    x = -f’(p), y = -pf’(p) + f(p)
    $$

    这是一条曲线 $\Gamma$ 的参数形式。假设可以从 $x = -f’(p)$ 中恢复出 $p = u(x)$，那么有

    $$
    \Gamma : y = xu(x) + f(u(x))
    $$

    接下来简单论述本方程和曲线 $\Gamma$ 的一些性质。首先求出 $y$ 对 $x$ 的二阶导

    $$
    y’’ = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = -\frac{1}{f’’(p)}\ne 0
    $$

    于是 $\Gamma$ 并非直线，但是该曲线在点 $x_0$ 处的切线方程为：

    $$
    y - x_0u(x_0)-f(u(x_0)) = u(x_0)(x - x_0)
    $$

    也就是

    $$
    y = u(x_0)+f(u(x_0))
    $$

    恰好是某一个通解。因此曲线 $\Gamma$ 的任意一点处均有 Clairaut 方程的两个解。

参数法

考虑曲面 $F(x, y, p) = 0$ 的参数形式：

$$
\begin{cases}
x = x(u, v) \\
y = y(u, v) \\
p = p(u, v) = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
\end{cases}
$$

那么有 $\mathrm{d}y = p\mathrm{d}x$。展开得到

$$
y_{,u}\mathrm{d}u + y_{,v}\mathrm{d}v = p(u, v)(x_{,u}\mathrm{d}u + x_{,v}\mathrm{d}v)
$$

于是原方程的求解归结为显式微分方程 $(44)$ 的求解，解出 $u, v$ 的参数形式后表示 $x, y$ 的参数形式。

同时这个做法告诉你如果方程中不出现 $y$ 或者不出现 $x$ 应当如何处理。

下一篇文章我们谈一些截至目前可以解决的实际问题。